[공부] 공부비법

■ 구조적 학습의 필요 - (1) 구조적 이해

 

보통 사람들은 수학은 이해과목 사회는 암기과목이라고 한다. 그런데 곰곰이 생각해보니 이게 좀 식상하기도 하고 그렇지 않은 부분도 있다 보니 수학은 암기과목이고 사회가 이해과목이라고 뒤집어서 얘기하는 사람들도 있다.

 

결론부터 말하면 공부에 어찌 이해만 있거나 암기만 있겠는가? 이해와 암기는 과목을 막론하고 뗄래야 뗄 수 없는 존재이다. 또한 어느 과목이든 이해-암기-이해-암기의 고리가 반복되어야 공부는 완성된다. 그래서 암기 없는 이해는 공허하다. 시험에 써먹을 수가 없다. 이해 없는 암기는 빨리 까먹는다.

 

그래서 바로 구조화 된 암기와 구조화 된 이해가 필요하다. 구조화된 암기는 주로 많은 시간을 들여 여러 번 공부하기 힘든 과목들에 필요하다. 사회나 과학 같은 과목들이다. 구조화 된 이해는 주로 많은 시간을 들여 여러 번 공부할 수 있는 과목들에 필요하다. 영어나 수학 같은 과목들이다.

 

이게 무슨 말일까?

다음은 구조화 된 이해다. 수학을 예로 들자. 수학은 누구나 많은 시간을 들여 여러 번 공부한다. 그런데도 잘 안 된다. 공식은 외웠는데 문제가 안 풀린다. 왜 그럴까? 여러 번 공부하니까 암기는 자동으로 된다. 그러나 이해는 잘 하지 않게 된다. 또 이해하기도 어렵다. 구조가 복잡하기 때문이다. 그러니 문제는 안 풀린다. 그러므로 이런 과목은 암기를 바탕으로 구조화 된 이해를 해야 잘할 수 있다. 한마디로 기본이 공식이나 개념을 잘 암기해두면 앞뒤를 연결하며 전체 구조를 이해해야 한다는 말이다.

 
어떤 고등학교 2학년 학생에게 물어 봤다.

 
“이차방정식을 푸는 방법들을 설명할 수 있겠니?”

 
“........(묵비권)”

 

그러나,

 
- 어떤 이차식을 인수분해를 해보라고,

- 어떤 이차식을 완전제곱꼴로 유도해보라고,

- 이차방정식의 근의 공식이 무엇이냐고 하니 각각은 완벽하게 대답한다.

 
이게 무슨 조화인가? 이차방정식을 푸는 방법은 중학교 3학년 1학기 때 다 배웠는데 말이다.

 

그럼 이 학생은 왜 저 세 가지 질문에 각각은 대답할 줄 알면서도 이차방정식 푸는 방법을 설명하지 못했을까? 고등학교 2학년인 이 학생은 이미 기계적으로 이차방정식을 풀 때 인수분해 해보고 안 되면 근의 공식 쓴다는 결론만 손에 익어 있는 것이다. 구조적으로 이차방정식은 어떤 식으로 풀어야 하고 왜 그런지에 대해서는 관심이 없다. 자신이 배웠는지 조차 기억이 없을 거다. 하지만 수학은 그런 학문이 아니다. 여기서 알 수 있는 것은 이차방정식을 푸는 방법 이라는 간단한 구조 속에서도 전체를 볼 줄 아는 눈이 있는가, 아니면 전체 구조는 모른 채 하나하나의 미시적인 문제 풀이법만 암기하고 있는가의 차이이다. 정확히 암기했다면 그 내용들을 조직화해서 전체로 정리해내야 한다.

 

그렇다. 구조화된 이해란 바로 공부 내용의 앞뒤를 연결할 수 있고, 결과적으로 내용 전체를 서로 엮을 수 있는 거시적 시야를 확보하는 것을 말한다. 중학교 때부터 이런 전체 구조를 파악해가며 공부하는 습관이 필요하다. 사실 중학교 때는 이런 식의 공부를 하지 않아도 크게 문제되지 않을 것이다. 중학교 시험은 1차원적으로 그냥 1개의 내용에 대한 문제만 출제되기 때문이다. 그래서 중학교 우등생이 될 수도 있다. 그러나 고등학교 공부에서 이런 전체 구조를 모르면 종합적인 사고를 요구하거나 2~3개의 내용이 조합된 문제들을 풀 수가 없다. 특히 내신 시험은 몰라도 당장 수능 모의고사 문제를 풀면 중학교 전용 학습을 한 학생과 구조적인 공부를 한 학생의 차이가 크게 난다. 특히나 내용이 워낙 방대하기 때문에 내용 하나하나를 따로따로만 공부해두면 뒤의 내용을 공부할 때 앞의 내용을 까먹게 되어 계속 앞의 내용을 찾으면서 공부하게 된다.

마지막으로, 이런 구조적 공부가 처음부터 단 한번 공부하면 자동적으로 가능할 거란 생각은 버리는 게 좋다. 2번, 3번, 4번... 끊임없이 반복해서 공부하고 다시 보고 읽고 또 읽는 과정 속에서 앞뒤 내용을 연결하고 자신의 머릿속에 구조를 잡아야 한다.

 

[ 중학교 수학 어떻게 연결되어 있나? ]

 
중학교 3학년 1학기 수학교과서 목차를 보면, 제곱근-다항식 곱셈-인수분해-이차방정식-이차함수 순서로 연결되는데 이게 다 이유가 있다. 최종 종착점은 이차함수다. 그런데 이차 함수에서 y=0인 경우 이차방정식 꼴이 된다. 즉, 이차함수의 x축과의 교점의 x좌표가 이차방정식의 근이 된다. 그래서 이차 방정식을 먼저 배운다. 그런데 이차방정식을 풀려면 인수분해를 할 줄 알아야 하니까 먼저 배운다. 또, 인수분해를 이해하려면 다항식끼리 곱한다는 개념을 먼저 알아야 한다. 그래서 다항식의 곱셈을 먼저 배운다. 최종적으로 근을 구할 때 제곱근이 사용될 수 있으므로 제일 먼저 배워 놓는 것이다. 결론적으로 중3 1학기 수학의 스토리가 이렇게 연결되어 흘러간다는 것을 알아야 한다.

 

그런가 하면 중1,2 학년 1학기 수학교과서와의 연결도 알 수 있다. 중1,2 학년 1학기 수학은 진법이라든가 근사값과 같이 독립적인 내용도 조금 있다. 그러나 대부분 크게는 두 가지 내용인데 첫 번째는 수에서 식으로 옮겨가도록 도와주는 내용이고 두 번째는 일차의 방정식과 부등식 그리고 함수를 이해하는데 필요한 제반 사항들이다. 그 다음 3학년 때는 일차에서 이차로 차수를 확장하는 것이다. 당연히 고등학교 때는 3차이상의 고차까지 확장된다. 이런 구조가 다 연결되어 있는 것이다.

 

 
[ 고등학교 수학 최대-최소 이슈 ]

 
고등학교 시험문제 중에 자주 등장하는 것이 두개의 식 또는 수의 대소를 비교하거나, 최대-최소값을 구하는 내용이다. 개별 단원에서 나올 때마다 따로따로 알아두어도 내신 시험을 보는 동안에는 지장이 없을 것이다. 그러나 전범위 내신시험이나 수능 시험을 볼 때는 반드시 이런 문제에 대한 나만의 방법론을 구조적으로 공부해 놓아야 한다.

 
최대-최소를 구하는 문제가 나왔다면 이런 경우들을 떠올려봐야 한다.

(더 있을 수 있으므로 찾아서 추가해보자)

 

1. 다항함수의 최대 최소를 구하는 경우 또는 다항식에서 판별식 활용하는 경우, 대칭형문제 등

2. 절대부등식을 이용하는 경우 (산술기하조화평균, 완전제곱, 코시-슈바르츠 부등식 등)

3. 부등식의 영역을 이용하는 경우

4. 미분을 이용(극대, 극소)하는 경우

5. 기하의 경우는 코사인 제2법칙 이용하는 경우

 
각각은 중학교 때부터 고등학교에 이르기 까지 여러 단원들에서 배우게 된다. 이런 내용을 전체적으로 정리해두어야 전 범위 시험에서 좋은 결과를 얻게 된다.

이것은 비단 수학만의 문제가 아니다. 다른 예를 살펴보자.

영어 문법은 구조적인 공부 없이는 정복이 불가능하다. 역시나 문법 공부 좀 했다는 중학교 3학년 학생에게 물었다.

 
“to부정사에 대해서 설명할 수 있겠니?”

 
“to에다가 동사원형 붙인거죠.”

 
이게 대답의 전부였다.......대략 난감하다.

적어도 to부정사에 대해서 설명하라고 하면, 우선 동명사와 분사 그리고 to부정사의 관계부터 떠올라야 한다. 동명사는 동사를 명사적으로 활용하기 위한 것이고, 우리말로 ~하는 것 정도로 해석되며 명사의 역할을 담당하므로 문장 안에서 주어, 목적어, 보어로 사용된다. 분사는 동사를 형용사적으로 활용하기 위한 것이므로 수식하여 한정하거나 보어가 되어 설명하는 용도로 사용된다.

 

to부정사는 부정 즉, 정하지 않는다는 말뜻처럼 동사를 명사, 형용사, 부사적으로 널리 활용하기 위한 것이다.  그 다음으로 to 부정사의 세 가지 용법을 설명하고 예문 정도는 들 수 있어야 한다. 명사적으로 사용될 때는 주어, 목적어, 보어 역할을 하며 예문은 다음과 같다.

 

주어: To do the right thing is not always easy.

목적어: I like to drink plenty amount of water, every morning.

보어: She asked me not to tell them the truth.

보어: His bad habit is to pick on others.

 

형용사적으로 사용될 때는 한정, 수식이나 서술을 하게 된다. 예문은 다음과 같다.

수식: We need something to drink.

서술: He is not to be harmed.

서술: She appears to be a good person.

 

부사적으로 사용될 때는 동사나 형용사, 부사 혹은 문장 전체를 수식하는 기능을 한다. 해석은 문장과 문맥에 따라 다양한 의미로 사용된다. 예문은 다음과 같다.

Im glad to be here, again.

We were heading to Seoul to see whats going on.

To tell the truth, I made that mistake.

 

그럼 이 학생은 이 세 가지 용법을 모르고 있었을까? 아마 충분히 공부했을 것이다. 그럼에도 아직 자신의 머릿속에 구조화 되어 저장되어 있지 않다. 단지 to부정사가 쓰인 문장을 해석할 줄 알고 어느 용법인지 맞출 수 있는 수준은 아직 영문법을 구조화하여 체계적으로 공부하고 있지 못하다는 증거다. to부정사에 대해서 배웠다면 그 역할이 무엇이고 to부정사가 왜 쓰이는지 정확히 전체를 보는 시야를 가져야 한다. 문법의 요소요소들을 배울 때 마다 궁금증을 갖고 그 의미를 이해해야 한다.

 
결론적으로, 영어에서 구조화된 문법 이해도 바로 공부 내용의 앞뒤를 연결할 수 있음을 의미한다. 개별적인 단원의 내용이 왜 의미가 있는지를 알아야 한다. 결과적으로 내용 전체를 서로 엮을 수 있는 거시적 시야를 확보해야 하는 것이다. 앞서서도 말했듯이 한번 공부해서는 절대 구조적으로 이해할 수 없다. 세 번, 네 번 끊임없이 읽고 이해하고 공부해야 한다. 바로 이런 구조적인 공부의 필요성이야 말로 중학교 공부와 고등학교 공부를 차이나게 하는 결정적인 부분이다.

  
 
[ 영어에서 동사의 중요성 ]

 
영문법에서는 동사와 그에 연관된 내용이 절반 이상을 차지한다고 봐도 과언이 아니다. 동사를 통해 말하고자 하는 바를 미묘하고 정확히 표현하는 것들이 바로 시제(행위의 시간), 조동사(행위자의 심리적 태도), 수동태(행위와 관련된 관심의 대상차이) 이다. 또, 동사를 명사나 형용사 부사 등으로 변형하여 사용하기 위한 것이 바로 부정사, 동명사, 분사 이다. 마지막으로 영어의 기본이 되는 문장 구조(1형식~5형식)를 설명하는 방식도 동사를 기준으로 나눈다. 동사로 완결, 보어가 필요한 불완전동사, 목적어를 필요로 하는 동사, 목적어가 두 개인 동사, 목적어와 보어를 필요로 하는 동사가 바로 그것이다.

 

 
구조적 이해에 대해서 구체적으로 어떻게 대비해야 하는지는 뒷장에서 더 상세히 다룬다.

 

 

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