근근히 해 내는 ap calculus 가 아니고 정복 할 수 있는 ap calculus .

ap calculus 시험은 고등학교 기간에 배우는 모든 수학과정을 범위로 하는 시험이라 할 수 있다.

. 미적분학(calculus)은 일반적으로 말과 숫자 그 자체로, 분석적인 관점 3가지 측면으로 봤을 때 (방정식과 여러가지 상징적 표현을 사용하므로)수학을 가장 잘 이해할 수 있는 세부 학문이다. 이 학문에서 활용하는 단어, 개념, 방정식, 숫자와 그래프들 간의 관계에 주목해보자. 예를 들어, 숫자로 나타낸 선형 함수는 특정한 값과 x값, y값과 연동된 규칙적인 변화성 을 갖고 있으며 그래프로 나타낸 선형 함수는 직선형태를 띄고 있다. 분석적으로 보면 이는 y=mx + b 의 식으로 나타낼 수 있다. 즉, 하나의 함수도 서로 연관된 3가지 형태를 띌 수 있다는 것이다: m이라는 숫자를 통해 그래프의 기울기를 바꿀 수 있지 않은가. 기울기라는 개념은 “rise over run” 이라고 표현되기도 한다. 수학에 있어 이들은 상호관련성을 띈다.

‘개념’ 에 주목하자 – 시험은 응용보단 개념에 초점을 둔다

절차와 공식에 주목하자 – 개념이 더 중요하다지만, 그것을 응용하여 계산하는 것도 중요하다. 좋든 싫든 간에 대수학과 산수, 그래프는 필수적으로 연관지어 공부해야 한다.

체계적으로 학문에 접근하자 – 간결하지만 정확하게 문제를 풀도록 노력하자

문제를 풀고 있다면, 무조건 열심히 풀어내는 것 만이( 줄줄 길게 적어내는 것 만이) 능사는 아니다. 집중해서 본인이 찾아야 하는 정답에 근접해 가는 과정을 깔끔하고 정확하게 찾아내도록 해야 한다. 자신이 잘못 풀고 있는 것을 발견할 수 있어야 한다.

ap calculus 시험 전 복습은..

ap 시험 몇 주전부터 학생들은 공부한 내용을 복습하기 시작한다. 복습을 통해 자신이 공부한 내용을 확실히 하고 미흡한 부분을 중점적으로 공부한 후 공식을 외워야한다. 어떤 유형의 문제가 출제될 것인지 예측하고 그 문제양식에 맞춰 공부를 해야한다.

- 시험 유형이 어떻게 되는지 알아야 한다. 자신이 공부한 내용이 어떻게 시험에

출제될 것인지 아는 것은 매우 중요하다. (기출문제를 대략적으로 한 번 훝어 보자. 문제 유형만이라도 일단 보자.)

- 모르는 부분을 공부해라.

당연한 이야기 같겠지만 의외로 많은 학생들은 본인이 잘하는 부분을 중점적으로 공부하는 경우가 많다. 채점 시 정답이 많아 본인이 수학을 잘 한다고 희열을 느끼기 때문이다. 하지만 본인이 잘하는 부분은 잠시 접어두고, 미흡한 부분을 확실히 하는데 시간을 할애해야 고득점을 얻을 수 있다.

- 서술형 문항문제를 대비하자. 작년 college board는 수험생들이 제출한 몇몇 답안사본을 공시했다. 선생님께서 그 답안지를 갖고 있다면 그 것을 통해 무엇이 잘못되었으며, 어떤 부분이 잘 되어있는지 첨삭하며 공부하자.

- 복습 계획을 철저히 하여 실천하자. 벼락치기는 금물이다. (ap calculus 를 벼락치기로 성공하기란 힘들다. 원래부터 수학에 소질이 있는 학생이 아닌 이상..)시험 전날은 공부하는 것이 아니라 심신의 안정을 취하는 날이다. 시험 당일엔 반드시 아침식사를 하는 것이 좋다. 시험은 상당히 많은 정신적 에너지를 필요로 하기 때문에, 선다형 문항 시험시간과 서술형 문항 시험시간 사이 짧은 휴식시간에 먹을 간단한 다과를 준비하는 것이 좋다.

계산기

수학시험을 치르거나 공부할 때 계산기는 반드시 필요하다. 그래프 계산기, 일반 계산기 모두 계산을 하는 데 있어 시간을 절약해주고, 정확한 값을 도출해 낼 수 있도록 도와준다. 수험생들은 수학시험을 준비함에 있어서 항상 계산기를 활용하는 연습을 해야 한다. 시험공부, 숙제, 뭐든 좋다. 계산기를 손에서 놓지 말자. 계산기를 사용하는 장단점을 알아야 한다. 계산기로 할 수 있는 부분 과 하지 못하는 부분, 해서는 안되는 부분등을 계속해서 연습문제를 계산기를 통해 풀면서 몸으로 익혀야 한다.

언제든 필요할 때 마다 계산기를 활용하자. 계산기를 활용하는 방법은 크게 4가지인데, 그것은 바로

- 함수 그래프를 임의로 만들어 나타내기 (plot)

- 함수값이 0이 되는 부분을 찾기(방정식 풀기)

- 함수의 미분값(derivative)을 계산하고,

- 함수의 정적분(definite integral)값을 계산하기

계산기는 많은 연산을 할 수 있게끔 엄청난 양의 프로그램이 내장되어 있지만, 실제로 그것을 온전히 활용해야 하는 경우는 많지 않다. 시험문제는 계산기의 기능 일부분만을 활용하여 풀어내도록 요구하는 경우가 대부분이기에, 많은 연산을 할 수 있는 비싼 계산기는 필요치 않을 것이다. 기본적인 계산기로도 충분히 수학문제를 풀어낼 수 있다.

기준을 라디안 값으로 맞추도록 하자.

또한 정확한 측정값을 도출해야 하는 과정에서 미지수 pi 나 e에 대하여 풀면 답이 다를 수 있으므로 유의하자. 문제에서 십진법의 수로 나타내라는 주문이 없다면, 굳이 파이나 자연상수를 고칠 필요없이 두면 된다.(왜 굳이 정답을 놔두고 오답을 찾아가려하는가?)

시험장에 들어가기 전, 계산기 배터리는 완벽히 충전해두기 바란다. (실제로 시험 시간에 거짓말처럼 배터리가 나가 버린 경우를 보았다. 공부를 많이 한 준비된 학생일 수록 이런 경우에 패닉 상태가 되기 쉽다.)

ap calculus 시험 형식

ap 시험은 선다형 문항과 서술형 문항 2가지 종류로 나뉜다. 문항 수 및 시험시간의 경우 매년 조금씩 달라질 수 있다. 따라서, college board에서 금년에 치러지는 시험정보를 확인하기 바란다. 수험자 입장에서 선다형 문항, 서술형 문항 모두 전 범위에서 출제되기 때문에, 두 문항 모두 포기해서는 안 된다. ap 시험의 경우 미적분학에 대한 방대한 지식을 요구하기 때문에, 이 시험에 대비하려면 아무래도 상위 클래스 수업을 들으며 다양한 주제를 많이 다루어야 할 것이다. 좋은 성적을 얻기 위해서 반드시 모든 문항에 답을 해야만 하는 것은 아니다. 실제로, 이 시험의 평균점수는 100점 만점에 50점 수준이므로(3점 기준), 반드시 100점을 맞아야만 1등이라고 볼 수 없기 때문이다.

현재 ap calculus 형식은

섹션 1 파트 a(55분) 선다형문항 28개를 계산기 없이 풀어내야 함.

섹션 1 파트 b(50분) 선다형문항 17개를 풀어내되, 계산기를 활용할 수 있음. 몇몇 문제의 경우 그래픽 계산기가 필요할 수도 있음

섹션 2 파트 a(30분) 서술형문항 2개를 풀어내되, 계산기를 활용할 수 있음. 문제에서 요구하는 사항이 많을 수 있으므로, 문제풀이 과정을 상세히 적어서 논리적으로 짜임새 있게 답안을 작성해야 함. 계산기사용이 불가능한 파트 b시험이 계속 이어짐.

섹션 2 파트 b(60분) 서술형문항 4개를 계산기 없이 풀어내야 함. 문제에서 요구하는 사항이 많을 수 있으므로, 문제풀이 과정을 상세히 적어 논리적으로 짜임새 있게 답안을 작성해야 함. 섹션 2 파트 a 문제를 이 시간에 풀 수 있음(계산기 사용은 불가).

선다형 문항

문제를 잘 읽고 선택지를 보자. 가장 정답에 근접하거나, 정답이라고 생각하는 선택지를 고르자. 선택지 하나가 이상하다고 해서 너무 신경쓰지말자. 학생은 시간이 항상 촉박하다는 사실을 기억하고, 문제를 하나하나 풀어내는 것이 아니라, 본인이 고른 이 선택지가 답인지 아닌지만 알아내면 된다. 억측은 금물이다.

선다형 문항의 종류

우선 연산의 값을 묻는 형태로(limit(극한값), derivative(미분값), definite or indefinite integral(부정적분 혹은 정적분의 값)), 5가지의 선택지를 제시하고, 올바르게 계산된 정답을 고르는 유형이 있다. 정답을 제외한 나머지 4개 선택지 또한 계산의 실수가 있다든지, 기준을 잘못 잡아서 도출될 수 있는 오답이 기록되어 있을 수 있으므로 유의하기 바란다. 문제를 풀었지만, 본인이 도출한 답안이 100% 정답이 아닐 가능성도 있다는 사실에 유념하자.

다른 형태로는 수험자가 주어진 선택지를 이용하여 귀납적으로 문제를 풀어나가는 것이 있다. 선택지를 이용하면 빠르게 문제를 풀어낼 수 있다는 점을 기억하자. 몇몇 문항은 주어진 5가지 선택지 중 참, 거짓을 밝혀내도록 요구하기도 한다.

또 다른 형태로는 삼단논법으로, 주어진 3개의 문장이 참인지 거짓인지, 아니면 일부만이 참인지 가려내는 것이다. 정답은 반드시 1개만 존재하는 것은 아니고, 단일한 문장이 될 수도, 복합 문장이 될 수도 있음을 명심하자.

마지막으로, 문제에서 주어진 표나 그래프를 보고 5가지 선택지 중 가장 적절한 것을 고르는 형태가 있다.

서술형 문항

섹션 2 서술형문항 시험은 수험자가 주어진 문제를 어떻게 풀어내는지에 알아내는 것에 역점을 둔다. 게다가, 서술형문항은 수험자로 하여금 단순한 답만을 구하라고 주문하지 않고 “justify your answer” 혹은 “show the analysis that leads to your conclusion.” 하고 요구한다.

학생이 제출한 문제풀이과정과 답안은 미적분학 선생이 직접 평가하므로, 논리적이고 간결하게 답안을 작성해야 한다. 답안을 도출하는 과정이 부실하다면, 그 문제의 정답을 맞혔다해도 감점당할 수 있음을 유의하자.

서술형문항은 수험자들의 학문에 대한 깊고도 넓은 지식을 측정하기 위해 만들어졌다. 따라서 서술형문항 출제방식도 어느정도 정형화되어 있다. 하지만, 매 시험마다 독특한 형식의 문제가 출제될 수도 있음을 유의하자.

서술형 문항을 풀어낼 때 명심해야 할 사항:

- 너무 글을 길게 풀어쓰지말자. 수학에 있어서 글은 필요없다. 본인이 답안을 어떻게 도출했는지 글로 쓰지말자. 이건 에세이 아닌, 수학시험이다. “the first derivative test” 처럼 수학적 개념어만을 활용하여 풀이를 전개하자. 여러 수학적 ‘정리’ 이름을 하나하나 열거할 필요 없다. 학생은 미분을 풀어낼 때 활용할 함수 값 오기, 숫자오기, y’를 y’’로 표시하는 실수를 하지 않는 것에 집중하면 된다.

- 서술형문항은 복잡한 연산을 요구하지 않는다: 만약 문제를 푸는데 있어 과도하게 복잡한 연산을 하고 있다면 그 연산과정에서 실수가 있지 않은지 알아보고, 다시 문제를 풀도록 하자.

- 문제를 풀수 없다고 해서 풀이과정을 생략하고 불필요한 말을 하는 것을 삼가자. 풀이과정이 없다면 결코 점수를 얻을 수 없다. 주어진 정보를 활용하여 문제를 풀어내는 것이 궁극적인 목표라는 점을 잊지 말자. 그리고 수치화된 정답을 더욱 간략하게 표현하지 말자. 정답은 어느 정도 수식의 형태를 띄어야 이해하기 쉽다(분수, 라디칼, 자연지수 e, pi에 대해 정리된 값 등). 답을 구해냈지만, 문제에서 숫자로 답을 표현하라는 조건이 없다면 굳이 정답을 수치화시키는 오류를 범하지 말자. 매년 학생들은 서술형문항을 풀어내지만, 해답을 숫자로 표기하여 감점되는 경우가 많이 발생한다. 수치화된 답이 정말 문제에서 원하는 ‘정답’ 일 경우(예를 들어, 정적분의 값을 구하는 경우)만 숫자를 적어 제출하자.

- 답안을 적다가 실수했을 경우, 줄을 그어 삭제하자. 줄 친 부분은 삭제된 것으로 간주하여 점수에 영향을 미칠 수 없다. 하지만, 줄을 긋지 않았다면 그 부분이 감점의 요인이 될 수도 있다.

- 문제를 풀어내는 방법이 꼭 하나뿐이지는 않다. 2가지 방법으로 문제를 풀어냈다면, 그 중 잘 풀어낸 풀이 법 한가지를 미지수를 x로 두는 방식으로 답안에 기록하자. 두가지 풀이방법 모두를 적어낸 다해도 점수를 2배로 부여하지는 않고, 두 풀이를 각각 채점하여 얻어진 점수를 산술평균화하여 부여한다. 이는, 한가지 풀이법이 완벽하다 하더라도 최고점수를 받을 수 없음을 의미한다.

- 일반적으로 통용되는 수학적 표현을 활용해야 하며, 계산기에서 활용되는 주문식은 답안에 기록될 수 없다. (예를들어, fnint(x2,x,0,2) 와 같은 표현은 쓸 수 없다)

- 풀이과정 없는 답은 좋은 점수를 얻기 힘들다. 답만을 구하기 위해 계산기를 활용하지 말고, 답을 구하는 과정에서 얻어지는 여러 값들을 답안지에 기록하자. 예를 들어, 만약 학생이 정적분 값을 구하고 있다면, 정적분 식을 적고 계산기로 답을 계산하여 그 옆에 적어라; 정적분 자체를 하나하나 계산하는 식을 열거할 필요는 없다.

- 계산기마다 내장된 프로그램이 달라, 기능상의 차이가 있을 수 있다(예를들어, 함수의 극값을 찾는 기능이나, 최댓값을 찾는 기능이 차이가 있을 수 있다). 부등변 사각형 법칙과 같은 간단한 개념은 계산기로도 풀어낼 수 있겠지만, 좀 더 복잡한 법칙을 활용하거나, 특수한 프로그램을 이용해야 한다면 본인에 맞게 계산기를 설정해야 한다(부등변 사각형법칙의 용어 설정, 연산법칙과 극점을 알기위한 편미분 연산 과 관련된 설정이 이에 해당한다). 더 이상의 설명없이 위에서 언급된 4가지만을 활용하면 답을 하는데 있어 큰 문제가 없을 것이다. 굳이 필요없는 개념을 활용하여 문제를 풀지말자. 풀이과정은 답을 도출함에 있어 가장 간략한 형태를 띄어야한다. 예를 들어, part (b)에서 미분값을 요구하지만 part (a)에서는 그것을 요구하지 않는다면 (a) 답안지에 미분값을 적을 필요는 없는 것이다. 만약 미분값을 적었다면, 그것을 part (b) 답안지에 그대로 옮겨적거나, 그 부분을 묶어 화살표 표시로 (b) 답안지에 옮기도록 하자. 문제에서 요구하는 정보만을 필요한만큼만 적는 능력도 중요하다. 그래프를 그리는 것도 마찬가지다. 그래프를 활용하여 답안을 도출할 필요가 없는 문제를 굳이 그림을 활용할 이유가 없는 것이다.

- 마지막으로 서술형문항은 서로 연관되는 경우가 많다. 이 점은 문제를 푸는 데 있어 2가지 도움을 줄 수 있다:

l 굳이 답을 구하는 과정을 거치지 않아도 다른 문제에서 정답을 구할 수 있는 경우가 있다. 학생은 본인이 마주하고 있는 문제만 볼 것이 아니라, 그 문제와 관련된 다른 문제를 살펴보도록 해라. part (a)에서 답을 구하기란 어렵지만, part (b)에서는 동일한 답을 의외로 쉽게 구해낼 수 있다. 답을 구하지 못하더라도, part (b)가 part (a)답을 구하는 힌트가 될 수도 있을 것이다.

l 문항이 서로 연관되는 경우가 많기 때문에, 한 문제를 풀면 다음문제도 풀리는 경우가 있다. 어느 문제를 먼저 풀어야 할 지 모르겠음에 도 불구하고 보통 이런 경우는 part (a) , (b), (c)를 순서대로 풀 때 많이 발생한다.

- 서술형문항을 많이 풀어보자. 보통 시작부분은 학생들의 흥미, 자신감을 고취시키기 위해 쉬운 문항이 많이 배치되어있다. 몇몇 문제라도 풀어 내는 것이 백지로 내는 것보다는 나을 것이므로 문제풀이 연습에 집중하자.

서술형 문항을 푸는 데 자주 하는 실수

- 대수와 산수과정에서의 실수

- 적분의 리밋을 빼먹는 경우

- 구간의 끝 부분을 고려하지 않아 발생한 실수(예를 들어, 함수의 절대값을 풀어낼 때 구간을 고려하지 않은 경우)

- 주어진 구간에서 나올 수 없는 답을 기입하는 것

- 좌표 2개를 필요로 하지만, 기록하지 않은 경우

- 좌표값을 1개만 기록한 경우. 함수값은 y좌표의 값이라는 사실을 잊어서 발생한 실수

- 계산기 각도 설정을 도(˚)로 하여 발생한 오류

- 풀이과정은 맞혔다 하더라도, 문제에서 원하는 답을 하지 않은 경우. 문제에서 y/n 을 요구했다면, 항상 끝에는 yes 혹은 no 로 대답해야 한다.

- 측정값을 무시하여 발생한 여러 오차

- 함수 문제들의 모임: 보통 함수문제들은 “this question deals with functions defined by f (x) =1+ bsin(x) where b is a positive constant...” 로 시작되는데, 이는 일반적인 함수문제를 푸는 방식으로 풀어야 한다. b의 값을 특정한 값으로 정해놓고 귀납적으로 풀면 안 된다는 것이다. 설령 귀납적으로 풀어서 문제를 맞혔다 하더라도 학생은 좋은 점수를 얻을 수 없을 것이다. 애초에 b라는 값을 정해놓고 시작했기 때문에, ‘b가 무슨 값을 지니더라도 문제가 해결될 수 있을 것인가?’ 라는 명제를 만족시켜줄 수 없기 때문이다.

- 모호하게 문제를 끼워 맞추는 행위: 간혹 문제를 보다 보면 방정식이나 수식 없이 그래프나 표로만 제시되어 있는 경우가 있다. 학생은 표에서 주어진 정보와 함수의 그래프를 통해서 문제를 풀어야만 한다. 방정식, 수식없이도 충분히 풀어낼 수 있는 문제다. 학생은 curve fitting (회귀법) 을 계산기에 적용하여 대략의 함수값을 구해낼 수 있을 것이다. 하지만, 절대 그렇게 해서는 안된다.

물론, 대략의 값을 통해 끼워맞추는 식으로 빠른 풀이가 가능하겠지만, 시험에 있어서는 결코 좋은 점수를 얻을 수 없는 방법이다. 문제에서 주어진 정보를 활용하지 않고, 모호한 값(근삿값)을 이용해 문제를 풀어냈기 때문이다. 더군다나, 계산기 사용이 불가능할 지도 모르는 일이다.

- 계산기에 내장된 여러 기능과 프로그램을 활용할 수 있으면 활용하되, 객관적으로 문제를 풀어나가야하지, 자신의 풀이에 대해 주관적으로 합리화해서는 안된다. 물론 계산기를 활용할 수 있는 파트에서만 계산기 이용이 가능하다는 점을 잊지말자.

3자리 수가 정답이 될 수 있음을 암시하는 단어

그래픽 계산기를 이용하여 정적분의 값을 구하는 등의 문제는 반드시 10진법의 수로 정답이 나올 수 밖에 없다. 답을 적을 때, 만약 그 정답을 실수(實數)로 해야 한다면, 정답을 기입할 수 있는 칸의 크기가 어떠한지 살펴보라. 칸이 3칸으로 나뉜다면 정답은 3자리 수가 될 것이다. 실질적 답이 3자리 이상 초과한다면, 3자리까지 적는 것(근삿값을 적는 것)이 좋다. 예를 들어, 정답이 pi로 남아야한다면, p의 값은 3.1415926536898…, 3.142, 3.141, 심지어는 3.14199999로 표현될 수 있는 가능성을 열어둔 것이다. 0으로 끝난 숫자의 경우, 0만큼 생략해주면 된다; 17.320 = 17.32, 56.000= 56.

하지만, 많은 학생들은 실수(實數)로 표현할 필요가 없는 문제임에도 불구하고 굳이 숫자로 정답을 적어낸다. 서술형문항의 정답은 단일한 숫자가 될 수도 있겠지만, 그렇지 않은 경우도 많다. 예를 들어, 정답이 1999 ab 1(c) 인데, 굳이 이것을 숫자화 시켜 -1/2 cos4+7/ 12 로 만들 필요가 없는 것이다.

. 정답을 기입하는 칸이 숫자를 기입하도록 요구하거나, 문제에서 숫자로 답을 하라고 요구할 때에는 숫자로 풀어쓰는 것이 맞겠지만, 숫자로 풀어쓰는 과정에서 실수가 있었다면 점수를 얻기 힘들 것이다. 하지만 대부분의 서술형문항은 (복잡한) 산수를 지양하고, 가능한 한 숫자를 많이 활용하려하지 않는다.

rounding은 학생들이 가장 많이 실수하는 유형 중 하나다. 산수, 계산은 최종 정답을 구해낼 때 잠시 활용해야 하는 하나의 방법에 불과하다. 산수를 굳이 배울 필요는 없으나, 중간에 계산한 값을 보류하고, 최종적으로 답을 도출할 때 그 값을 불러들이는 등의 계산기 활용방법을 알아두는 것은 좋다. 최종 정답이 아닌 rounding이 최종 정답과 유사하게 떨어진다면 학생은 그 문제를 잘못 풀이한 것이다. 그러나, rounding(중간 계산값) 값을 다음 문제에 적절히 활용할 수 있으므로 잘 기억해두기 바란다.