수학적 사고력과 선행의 의미

[출처] 수학적 사고력과 선행의 의미 : 작성자 핸즈 (인사이트수학 저자 김영규)

교육에 관한한 항상 균형잡힌 큰 틀에서 참으로 멀리보고 아이들의 장래를 생각하다보니, 지식교육과 품성교육이 잘 조화된 교육을 하기가 얼마나 힘든가를 늘 경험하고, 일상으로 부딛치는 힘듦 중의 하나이기도 합니다.

주제가 포괄적이라 오늘은 지식교육 중 수학에 국한하여 말씀드립니다.

수학을 잘 하기 위한 방법...그것은 어쩌면 불공평하다 할 만큼 선천적인 수학적 능력이 지배적이다 보니, 수학이 갖는 특성을 이해하지 않고는 결코 정보의 옥석을 가려내기가 힘들거라 생각됩니다.

아시다시피 수학은 논리학입니다.

논리적 사고는 상당부분 타고납니다. 다른 학문에도 논리성이 중요하지만 특히 수학은 수학적 논리력이 후천적인 학습의 효과에 비하여 선천적으로 타고난 능력이 지배적입니다.

그럼에도 불구하고, 우리가 수학적 사고력을 높이기 위한 갖은 방법과 이론들을 동원하여 자녀에게 교육을 하고자 하는 것은, 이미 타고난 능력이 크던 작던, 그 그릇의 크기에 무관하게, 후천적으로 개발해 줄 수 있는 최선의 방법이 무엇인가를 찾는 것입니다.

수학적 사고력의 발달은 말 그대로 수학적인 논리에 근거하여 충분히 생각할 때만, 그 능력이 발달하게 됩니다. 수학을 잘 하기 위하여는 그 논리의 바탕인 개념 이해가 무엇보다 중요합니다.

그런데 아무리 개념을 잘 이해하고, 비어있는 이론을 다시 챙기더라도 심화된 문제를 풀게되면 막히게 되는데, 이러한 현상은 곧 개념이해의 부족에서 비롯되는 것이 아니라, 개념과 문제 접근을 위한 중간자적 또 다른 능력이 요구되기 때문인데, 그 중간자적 능력을 발상이라 합니다.

가끔은 창의력 내지는 사고력, 심하게는 창사수학이라는 신조어까지 만들어 또다른 수학의 쟝르가 있는것처럼 학원들이 광고를 하는 그 능력을 말합니다.

수학적 사고력이 선천적이라는 말씀은 수학적 능력(분류를 한다면 여러가지 이겠지만..)중 그 발상의 능력을 말씀드린 것입니다.

부모님들이 관심있어 하시는 선행에 대하여 저는 긍정도 부정적인 생각도 갖지 않습니다.

그러나, 수학적 사고력을 길들이기 위한 방법에서 어긋난 것이라면, 그 선행으로 인하여, 조금이라도 더 잘할 수 있는 여지를 없애는 것이 너무도 안타깝고, 또 논리적 사고력이 뛰어난 아이가 단순 반복 내지는 암기식의 엄청난 문제속에서 현재에만 머물고 않다면, 그 또한 국가적 손실이라 안타깝기는 마찬가지 입니다.

수학적사고가 길들여지기 위하여는 철저히 개념부터 그 논리를 깨우치고, 여러가지 변화될 수 있는 상황에 대하여 스스로 추론해보며, 그 쓰임의 확장이 어떠할지를 따져봄으로써, 아직 배우지 않은 것들에 대한 추론 가능한 생각들을 해 보는 습관이 매우 중요합니다.

한가지 개념에 대하여 그 바탕을 이해하고, 그 주변의 것들에 대하여 추론해가는 과정을 개념확장이라 합니다. 그러한 개념확장에 대한 습관은 곧 배우지 않은 것들에 대한 생각의 힘으로 축적되고, 그러한 축적된 사고의 깊이는 곧 발상의 능력으로 직결됩니다.

학원마다 가르치는 선생님들이 교육철학이 다르고, 각자의 생각이 다르니, 이런저런 의견들이 있을터이지만, 그러한 수학적 능력의 배양은 선행과는 무관하다 생각하는 사람입니다.

곧 수학을 잘 하기 위한 방법은 철저한 기본 개념의 이해와, 개념확장에 대한 습관을 몸에 배이게 하는 방법일 것입니다.

예비중반을 모집하며, 입학시험을 보러오는 아이들은 상당부분 8과정은 기본이고, 9과정을 배운 아이들입니다. 어디까지 했냐에 무관심하고, 무엇을 알고, 수학적으로 어떻게 발상할 수 있는가에 촛점을 맞춘 시험에 대부분 추풍낙엽 떨어집니다.

그 풀이하는 생각들을 좇아가보다 보면, 어설픈 선행이 얼마나 아이들의 수학적 사고력을 망가뜨려놓고 있는가 안타깝기 그지없습니다.

초등학교 저학년 때처럼 종이접기의 대칭성을 보면 아주 간단히 풀릴 문제를 그 복잡한 피타고라스의 정리를 씁니다. 글을 읽는 부모님들은 어쨌거나 맞기만 하면 될 것이 아닌가 반문하시겠지만, 그러한 기본적인 발상의 바탕을 끝까지 파고들어가 본 아이들은 피타고라스의 정리를 배울 때는 한 차원 높은 발상을 하게 되는 것이며, 그 생각의 깊이가 원천적으로 다르기 때문에, 그저 공식이 쉽고 편해서 답을 맞추는데 만족하는 그 수학은 궁극적으로 깊이 있는 수학에서는 좌절하게 됩니다. 곧 발상의 능력이 떨어져서 입니다.

우리는 다른 사람들의 경험담이 매우 중요한 정보이기도 하고, 때로는 독이 될 수도 있을 것입니다.

한 두번으로 어떤 과정을 배우고 끝낼 수 있는 방법도 있고, 몇 번이나 반복하여 끝낼 수 있는 방법도 있을 것입니다. 한 번도 풀어보지 않은 문제를 척척 풀 수 있는 방법도 있고, 날마다 시중에 떠돌아다니는 문제집 몇 권을 푼 후에야 수학이 잡히는 방법도 있을 것입니다.

선행은 이러이러해서 꼭 해야 되는 것이라는 정보도 있고, 선행하지 않아도 되더라의 정보도 있습니다.

이러이러한 이유로 선행을 해야한다의 그 주장에, 선행을 하지 않았더니 어떤 문제점이 있던가도 들어볼 일이며, 선행하지 않았어도 충분히 잘 하는 아이들은 과연 그 이유가 무엇인지 지혜롭게 살펴볼 일입니다.

대부분의 자녀들이 학원에 의존하고, 학원들은 엄청난 선행을 하는 환경속에서, 온갖 생각을 해가며  자유롭게 수학공부하기란 참 어려울 것입니다.

때문에, 학원을 방문하는 아이들 또한 엄청난 진도가 이제 거의 일반적이 된지도 오래입니다.

문제는...그러한 진도가 필요한 아이들과, 그렇지 않은 아이들까지 막무가내로 진도빼기를 하다보니, 집중력 부재와 어설픈 공식암기, 유형별 패턴익히기, 많은 문제를 풀어보지 않으면 도대체 발상력이 부재한 아이들....모두가 말도 안되는 선행의 피해자들입니다.

했던 것을 또 하고 또 하면 언젠가는 될 것 입니다. 그리 하지 않아도 가능한 방법이 있다면, 어떤 정보에 더 귀를 기울여 볼 것인지 정보의 옥석을 가릴 지혜가 필요할 것입니다.

미국에서 3년 살았더니 영어가 되더라는 정보를 보고, 우리는 과연 그것이 올바른 영어공부 방법의 해답인가를 생각해 볼 일입니다. 현지에서 3년이나 살면서 영어가 되지 않는다면, 그것이 도리어 이상할 것입니다. 미국을 가지 않아도, 과목간의 균형이 깨지지 않으면서도, 가장 효율적인 영어 공부방법이 이러하더라가 귀 기울일 정보가 아닌가 생각됩니다.

수학을 잘하기 위한 방법은, 곧 수학적사고력을 길들이는 방법이며, 그 방법은 선행의 방법이 아니라, 천천히 또박또박, 따져보고 또 따져보며, 이리저리 추론해 보는 과정에서 발상능력이 길러집니다.

그러한 수학적사고가 길들여진 아이들은 결코 했던 것을 수없이 반복하지 않습니다. 그러기에, 고등학교 올라가서도 결단코, 진도 때문에 헤매지 않습니다.

선행은....아이가 잘 이해하여, 하다보니 저절로 진도가 이만큼 나가있는 것이지, 선행으로 수학적능력을 배양하는 방법은 순서가 거꾸로인 듯 합니다.

최소의 것을 듣고, 최대의 생각을 하는 방법과 최대의 것을 듣고, 최소의 생각을 하는 방법...

몇 문제라도 골똘히 생각할 것을 골라, 깊이있게 생각하는 방법은 결코 많은 문제를 필요로 하지 않습니다.

수학방에서 가끔 문제풀이를 도와줍니다. 까다로운 문제가 올라오면, 학생들의 덧글 중 공통점이 있습니다. 이 문제 어디서 풀어 본 것인데...이 문제 어느 책에 있던 것인데...

철저히 따져보며 그 원리를 원천적으로 파헤치는 공부를 하게되면, 그것이 언제 풀어 본 것이든, 처음 접하는 문제이건 관심이 없을텐데...곧 패턴별 유형별 익히기 내지는 결과를 내는 스킬을 공부한 아이들의 생각입니다. 따져보고 또 따져보며 그 의미를 곱씹어보는 수학은 결코 선행을 하고싶어도 시간이 모라자 할 수 없는 방법입니다. 그럼에도 불구하고 척척 이해하고 두뇌회전 빠른 극히 소수를 제외하곤...

수학이든 다른 과목이든...잘 하기 위한 방법은 곧..."했다"가 아니라 "안다"일 것입니다.

독서가 사고력을 길러주는 것은 진리일 것임니다. 우리아이는 독서량이 엄청나답니다. 그런데 수업중에 아이는 이해력이 떨어집니다. 무슨 이유인지 그러합니다. 아이는 독서를 하지 않는 것입니다. 곧 "책을 읽는다"가 독서가 아니라 "책의 내용을 안다."가 독서일 것입니다. 신기한 한글나라 읽기가 독서는 아닐테니깐요.

끝으로, 몇 년전의 제자와의 상담얘기로 끝을 맺고자 합니다.

한 여학생이 심각하게 상담을 요청하였습니다.

어제 영어단어 150개를 외웠는데, 오늘 하나도 떠오르지 않는답니다. 자신의 뇌가 잘못 된 것인지, 무슨 공부방법이 잘못 된 것인지...도대체 어디가 잘못된 것인지...

오늘 그 단어가 떠오르면 그것이 오히려 비정상일 것이다. 아무것도 떠오르지 않았으니, 너는 정상이다.

요즘 아이들의 공부 방법입니다. 단어를 암기한 것이 아니라, 단어를 읽으며 머리속에 넣었다고 착각하는 공부....과연 그 단어를 진짜로 머리속에 넣은 것인지 돌아서서 확인해보면 알 것을...

어떤 책을 읽었답니다. 그 책을 안다고 착각하는 아이들....

수학진도를 신나게 빼 나갑니다. 했다를 안다로 착각하는 아이들...

초등5,6학년이 9,10과정의 그 깊이를 이해한다면....아이가 영재거나...교과편재가 잘못되었거나...

분명한 것은...그 둘중의 어느 하나는 진실일 것입니다.

개인적인 다양한 생각 속에...내게 과연 어떤 정보가 유익할 것인지...

현장에서 가르치는 선생으로써...수많은 제자들을 배출한 경험자로써...입시를 모두 끝낸 부모로써...

타고난 능력이 조금 모자라도...조금이나마 수학을 잘하는 아이로 키우시고 싶은 부모님들께...

도움되는 정보가 되었으면 하고 바래봅니다.

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