[대입] 대학입시 정보

수리영역 학습법

-대성마이맥 양승진 선생님

Ⅰ. 수리영역 출제경향 분석

2010학년도 수능 수리영역 출제경향은 단순한 계산이나 이해력을 측정하는 문제는 대체로 평이하고 쉬웠으나 문제의 주어진 조건을 이해하여 문제 해결을 위한 추론과정이 필요한 문제와 개념을 이해하여 문제에 적용하는 문제해결력을 측정하는 문제들은 문제의 접근 방법과 해결 과정이 다소 어려웠다. 가형의 경우 전체적으로 기존에 출제되었던 유형과 비슷하게 출제되었다. 기존에 어렵게 출제되었던 수학 2의 공간도형과 공간좌표, 벡터단원의 문제는 지난해보다 다소 쉽게 출제되었고, 수학 1에서 수열의 극한과 지수함수와 로그함수단원의 문제가 어렵게 출제되었다. 선택과목은 전체적으로 지난해 수능과 비슷하게 출제되었다. 나형의 경우 실생활 관련 문항들이 지난해 보다 많이 출제되었고 수열, 수열의 극한, 지수함수와 로그함수, 순열과 조합, 통계 단원에서 몇몇 문제는 문제 접근과 해결 과정에서 시간이 다소 걸리고 어려운 문제들이 출제되었다. 요약해 보면

① 지난해 수능시험과 비슷하게 출제되었고 신유형의 문제보다는 과거에 출제된 적이 있던 문제라도 문항의 형태나 발상, 접근 방법을 달리하는 방식으로 난이도와 변별력을 높힌 문제가 출제되었다.

② 기본적인 정의, 개념을 이해하여 간단한 계산이나 이해력을 측정하는 문제는 다소 쉽게 출제되었으나 각 단원별 필수개념을 이해하여 적용하는 문제해결력을 측정하는 문제는 다소 어렵게 출제되었다.

③ 나형에서 실생활과 관련된 문제는 지난해 수능보다 많이 출제되었다.

④ 배점은 지난해 수능과 같이 2점, 3점, 4점 문항이 각각 3개, 14개, 13개로 출제되었다.

⑤ 변별력을 높이기 위해 배점이 4점인 문항의 난이도가 높았고 가형, 나형 모두 단답형 배점이 32점으로 지난해 수능과 같았다.

⑥ 가형, 나형 모두 난이도가 쉬운 문제가 늘어나고, 난이도가 높은 문제가 다소 줄어서 지난해 수능보다 쉽게 출제되었다.

 

1. 수리가형 문항별 특징

기존에 어렵게 출제되었던 수학 Ⅱ의 공간도형과 공간좌표, 벡터단원의 문제는 지난해보다 다소 쉽게 출제되었고, 다항함수의 미분법 단원에서 어렵게 출제되었다.

수학 1에서는 수열의 극한과 지수함수와 로그함수 단원의 문제가 어렵게 출제되었다.

선택과목은 전체적으로 지난해 수능과 비슷한 유형으로 출제되었으나 난이도는 다소 쉬워졌다.

단답형 문항이 지난해 수능보다 다소 쉽게 출제되었다. 연역적 추론에 해당되는 증명 문제는 수열 단원과 순열과 조합이 복합된 문제(12번)가 출제되었다. 수열의 극한 단원 (15번)문제는 그림을 이해하여 조건에 맞는 식을 세우는 과정이 다소 복잡하고 시간이 걸렸다. 지수함수와 로그함수 단원 (16번)문제는 주어진 조건을 그래프로 나타내어 참, 거짓을 추론하는 문제로 조건을 이해하는 과정이 다소 어려워 시간이 많이 걸렸다. 수열 단원 (22번)문제는 10-나에 속하는 단원과 복합된 문제였다.

수학 Ⅱ에서 다항함수의 미분법 단원 (17번)문제는 주어진 조건을 이해하여 함수의 그래프를 그려 참, 거짓을 추론하는 문제로 그래프를 추론하는 과정이 어려웠다. 다항함수의 적분법 단원 (24번) 문제는 구간을 나눠서 최댓값을 구하는 과정이 어려웠다. 공간도형과 공간좌표 단원 (25번)문제는 조건에 맞는 그림을 그려 보고 정사영에 해당하는 영역인 타원을 찾는 과정이 어려웠다.

선택과목은 전체적으로 지난해 수능과 비슷하였다.

합답형 문항에 해당되는 <보기>문제는 4문항(8번, 14번, 17번, 29번)으로 지난해 수능보다 1문항이 줄었다.

 

2. 수리나형 문항별 특징

실생활 관련 문항들이 지난해 보다 많이 출제되었다. 단답형 배점이 32점으로 지난해 수능과 같았다. 합답형 문항에 해당되는 <보기>문제는 2문항(16번, 28번)으로 지난해보다 수능보다 1문항 줄었다. 연역적 추론에 해당되는 증명 문제는 수열 단원과 순열과 조합이 복합된 문제(12번)가 출제되었다. 지수함수와 로그함수 단원 (16번)문제는 주어진 조건을 그래프로 나타내어 참, 거짓을 추론하는 문제로 조건을 이해하는 과정이 다소 어려워 시간이 많이 걸렸다.

수열단원 (22번)문제는 10-나 단원과 복합된 문제였다. 수열의 극한 단원 (15번, 25번)문제는 그림을 이해하여 조건에 맞는 식을 세우는 과정이 다소 복잡하고 시간이 걸렸다.

 

3. 수리영역 평균점수 변화

구 분	2009년	2010년	차이
	원점수 평균 (100점 만점)	원점수 평균 (100점 만점)
수리가형	49.06	55.6	6.54
수리나형	38.3	44.99	6.69

 

4. 수리영역 등급 컷 점수 변화

수리 가형							수리 나형
등급	2009년	2010년					등급	2009년	2010년
	원점수	원점수	표준점수	백분위	비율			원점수	원점수	표준점수	백분위	비율
만점	100	100	142	100	0.3		만점	100	100	142	100	0.8
1	82	89	132	96	4.7		1	79	91	135	95	5.9
2	73	81	125	89	11.5		2	68	83	129	88	12.7
3	64	71	116	76	24.7		3	55	70	119	77	23.8
4	55	62	107	60	41.4		4	42	49	103	60	40.3

 

Ⅱ. 대입 수능 대비 전략

1. 행동영역별 학습 방법

1)계산 능력

수학 문제해결의 기본 수단인 기본적인 계산 능력 및 전형적인 문제해결 절차인 알고리즘 구사 능력을 기른다.

- 연산의 기본법칙이나 성질을 적용하여 주어진 식을 간단히 하기

- 기본적인 계산 원리와 계산법을 이해하고 적용하기

- 전형적인 문제해결 절차인 알고리즘을 이해하고 적용하기

2010 대수능 가,나형 공통 1번	2010 대수능 수리가형 18번
의 값은?① ② ③ ④ ?	함수 에 대하여 의 값을 구하시오.

 

2)이해 능력

문제에 포함된 수학적 용어, 기호, 식, 그래프, 표의 의미와 관련 성질을 알고, 수학적 표현을 교환하고 분석하며 해석하는 능력을 함양한다. 또한 수학적 개념ㆍ원리ㆍ법칙을 이해하고 적용하는 능력을 기른다.

- 수학적 기본 개념, 원리, 법칙의 의미를 이해하고 수학적 언어(용어, 기호, 식, 표, 그래프 등)로 표현하기

- 수학적 언어(용어, 기호, 식, 표, 그래프 등)의 의미를 이해하고 서로 변환하여 표현하기

- 문제 상황과 관련된 수학적 개념, 원리, 법칙을 찾아보고, 문제 상황을 재조직하여 수학적 개념, 원리, 법칙과 관련짓기

- 수학의 기본 개념, 원리, 법칙을 종합 정리하기 위하여 교과서 차례를 보고 각 절에서 학습한 내용을 회상?확인?보충하기

2010 대수능 가,나형 공통 9번	2010 대수능 수리가형 5번
어느 공장에서 생산되는 병의 내압강도는 정규분포 을 따르고, 내압강도가 보다 작은 병은 불량품으로 분류한다. 이 공장의 공정능력을 평가하는 공정능력지수 는 으로 계산한다. 일 때, 임의로 추출한 한 개의 병이 불량품일 확률을 다음 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? ① ② ? ④ ⑤	평면 위에 이고, 인 직각이등변삼각형 가 있다. 평면 밖의 한 점 에서 이 평면까지의 거리가 이고, 점 에서 평면 에 내린 수선의 발이 점 일 때, 점 에서 직선 까지의 거리는?① ? ③ ④ ⑤

 

3)추론 능력

수학에 의미를 주고 수학하는 힘의 근원이 되는 추론 능력을 기르기 위하여 발견의 논리인 귀납과 유추에 의한 개연적 추론 능력과 함께 정당화의 논리인 연역적 추론 능력을 기른다.

- 복잡한 상황 단순화하기

- 상황을 단순화하거나 특수화하여 규칙성 찾아보기

- 체계적인 정리, 열거, 관찰 등을 통하여 유사성을 유추하여 규칙성 찾아보기

- 주요 원리나 법칙,공식 등을 연역적으로 추론하는 방법을 이해하고 연역적으로 추론하기

- 일반적인 성질로부터 특수한 성질을 연역해 보고 반례 찾아보기

- 수학의 다양한 증명 방법을 익히고 스스로 수학적 명제 증명하기

- 주어진 증명에 사용된 수학적 원리와 논리를 확인하고 이해하기

2010 대수능 가,나형 공통 16번	2010 대수능 수리가형 17번
자연수 에 대하여 직선 과 곡선 가 만나는 서로 다른 두 점의 좌표를 각각 , 이라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?   |보기|       ㄱ. ㄴ. ㄷ. ① ㄱ② ㄴ③ ㄷ ? ㄴ, ㄷ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ	최고차항의 계수가 인 사차함수 에 대하여 함수 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 일 때, 이다. (나) 모든 실수 에 대하여 이다. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?   |보기|       ㄱ. 이고 이면, 는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. ㄴ. 가 실수 전체의 집합에서 미분가능하면, 이다. ㄷ. 가 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 이면, 구간 에 인 가 존재한다. ① ㄱ② ㄴ③ ㄷ ④ ㄴ, ㄷ? ㄱ, ㄴ, ㄷ

4)문제해결 능력

여러 가지 수학적 개념, 원리, 법칙이 복합적으로 적용되는 수학 문제, 수학을 적용하는 다양한 실생활 문제나 다른 교과 상황을 소재로 한 문제를 해결하는 능력을 기른다.

- 문제 상황을 분석하여 관련된 모든 수학적 개념, 원리, 법칙을 찾아보고, 그것의 의미와 관련 성질을 확인하고 종합적으로 적용하기

- 그림 그리기, 기호 사용하기, 표 만들기, 규칙성 찾기, 단순화하기, 식 세우기, 거꾸로 풀기, 논리적으로 추론하기, 반례 들기, 일반화하기, 특수화하기, 추측과 확인?수정하기 등과 같은 문제해결 전략을 익히고 다양한 문제 상황에 적용하기

- 문제를 풀고 난 뒤에는 전체 풀이 과정을 종합적으로 점검하고 핵심 내용 정리하기

- 주어진 문제를 변형하거나 발전시킨 새로운 문제를 스스로 만들고 해결하기

- 수학의 여러 가지 개념, 원리, 법칙 사이의 관련성, 수학의 여러 가지 표현 사이의 관련성 등 이해하기

- 여러 가지 수학적 개념, 원리, 법칙이 복합적으로 자주 사용되는 관련 학습 내용을 파악하여 문제 풀기

- 다른 교과 내용이나 생활 속에서 수학적 개념이 활용되는 소재 찾아보기

- 실생활 문제를 수학적으로 관찰, 분석, 조직, 생각하기

 

 

2010 대수능 가,나형 공통 25번	2010 대수능 수리 가형 25번
그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 와 한 변의 길이가 인 정사각형 는 변이 서로 평행하고, 의 두 대각선의 교점과 의 두 대각선의 교점이 일치하도록 놓여있다. 와 의 내부에서 의 내부를 제외한 영역을 이라 하자. 이상인 자연수 에 대하여 한 변의 길이가 인 작은 정사각형을 다음 규칙에 따라 에 그린다. (가) 작은 정사각형의 한 변은 의 한 변에 평행하다. (나) 작은 정사각형들의 내부는 서로 접하지 않도록 한다. 이와 같은 규칙에 따라 에 그릴 수 있는 한 변의 길이가 인 작은 정사각형의 최대 개수를 이라 하자. 예를 들어, 이다. 라 할 때, 의 값을 구하시오.	좌표공간에서 축을 포함하고 평면과 이루는 각의 크기가 인 평면을 라 하자. 평면 가 구 과 만나서 생기는 도형의 평면 위로의 정사영이 영역 에 포함되도록 하는 에 대하여 의 최댓값을 이라 하자. 의 값을 구하시오.

 

2. 수능 대비 학습법

1)유의사항

많은 양의 문제를 제한된 시간 내에 푸는 행위는 오히려 개념을 확실하게 다지는데 방해가 될 수 있다. 기초가 부족하다는 생각이 들면 이미 배운 부분이라 하더라도 돌아가서 교과서부터 다시 정리하는 것이 좋다. 예를 들어 10-나 삼각함수를 모르면 중학 과정의 삼각비 단원을 다시 공부해야 하고, 삼각비를 모른다면 닮음 단원에서 평면도형 성질의 근간이 되는 피타고라스 정리와 삼각형의 닮음을 다시 공부하는 자세가 필요하다.

2010 대수능 가,나형 공통 15번

그림과 같이 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원 을 그리고, 원 이 좌표축과 만나는 네 점을 각각 , , , 이라 하자. 두 점 , 을 모두 지나고 두 점 , 을 각각 중심으로 하는 두 원이 원 의 내부에서 축과 만나는 점을 각각 , 라 하자. 호 과 호 로 둘러싸인 도형의 넓이를 , 호 과 호 로 둘러싸인 도형의 넓이를 이라 하자. 선분 를 지름으로 하는 원 를 그리고, 원 가 축과 만나는 두 점을 각각 , 라 하자. 두 점 , 를 모두 지나고 두 점 , 를 각각 중심으로 하는 두 원이 원 의 내부에서 축과 만나는 점을 각각 , 이라 하자. 호 와 호 로 둘러싸인 도형의 넓이를 , 호 와 호 로 둘러싸인 도형의 넓이를 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 호 과 호 으로 둘러싸인 도형의 넓이를 , 호 과 호 으로 둘러싸인 도형의 넓이를 이라 할 때, 의 값은? ① ② ③ ? ⑤

 

2)기출 문제를 분석하라

최근에는 일부 단원의 경우 새로운 유형보다는 지금까지 출제된 문제와 비슷한 유형의 문제가 반복적으로 출제되는 경향을 보이고 있다. 단원별 개념이 확실히 정립되었다면 기출문제를 풀어서 여러 관점에서 바라보고 출제자의 의도를 파악해 보는 연습을 하는 것이 좋다. 기출문제는 수능, 평가원, 교육청, 전국 모의고사 순으로 비중을 두고 연습하는 것이 좋다.

2009 대수능 수리가형(미적분) 30번	2010 대수능 수리가형(미적분) 28번
반지름의 길이가 인 원 위에 점 가 있다. 그림과 같이 양수 에 대하여 원 위의 두 점 , 를 이고 가 되도록 잡는다. 삼각형 의 내접원의 반지름의 길이를 라 할 때, 이다. 의 값을 구하시오. (단, , 는 서로소인 자연수이다.)	그림과 같이 원 위의 점 에서 접선이 축과 만나는 점을 라 하자. 점 과 원점 에 대하여 라 할 때, 의 값은?(단, 점 는 제 1사분면 위의 점이다.) ① ② ③ ? ⑤

3)“고등수학” 교과서 정리

수학 고득점에 실패한 학생들 절대 다수가 약한 것으로 분석되고 있다. 수학 1, 2문제도 그 풀이 과정에서는 고등수학이 적용되는 경우가 많기 때문에 기초가 약하다고 생각되는 학생은 고등수학 과정의 주요 단원(도형의 방정식, 함수)만이라도 반드시 정리해야 한다.

2010 대수능 가,나형 공통 22번

자연수 에 대하여 점 이 축 위의 점일 때, 점 을 다음 규칙에 따라 정한다. (가) 점 의 좌표는 이다. (나) (1) 점 을 지나고 축에 평행한 직선이 곡선 과 만나는 점을 이라 한다. (2) 점 을 직선 에 대하여 대칭이동한 점을 이라 한다. (3) 점 을 지나고 축에 평행한 직선이 축과 만나는 점을 이라 한다. (4) 점 을 축의 방향으로 만큼 평행이동한 점을 이라 한다. 점 의 좌표를 이라 하자. 일 때, 의 값을 구하시오. (단, 는 서로소인 자연수이다.)

4)많은 문제집보다는 한 권의 문제집이라도 제대로 분석하라.

많은 문제집을 풀려고 하지 말고 한권이라도 끝까지 정확하게 풀이하는 과정을 거치는 것이 바림직하다. 개념을 철저히 이해하려고 노력하면서 처음에는 교과서 수준의 평이한 문제집을 풀어보는 것이 바람직하다. 최근에는 교과서적인 기본 개념과 원리에 바탕한 수학적 지식을 측정하는 문제들이 많이 출제되고있다. 따라서 수험생들이 어떤 유형의 문제에도 차질 없이 대처하기 위해서는 마지막 순간까지 기본 개념을 다지는데 많은 시간을 투자해야 한다. 노력에 비해 점수가 좋지 않은 학생들 상당수가 기본 개념과 원리의 이해보다는 실전 응용문제를 푸는 데 더 많은 시간을 투자한다. 이는 모래 위에 집을 짓는 것과 같다. 어려운 문제에 집착하는 학생은 실제 시험에서 쉬운 문제도 놓치기 쉽지만, 쉬운 문제로 기초를 확실하게 다진 학생은 쉬운 문제는 절대로 놓치지 않으면서 어려운 문제도 쉽게 해결하는 경향이 있다.

 

5)주제별 오답 노트 활용하라

문제를 풀다 보면 비슷한 유형의 문제를 접하게 되지만 한번 틀린 문제는 그 이후에도 반복해 틀리는 경우가 있다. 틀렸던 문제나 매우 중요해서 다시 공부해야 할 필요가 있는 문제는 주제별로 오답노트에 정리해 두는 것이 바람직하다. 그런 다음 시간이 날 때마다 틈틈이 다시 풀어 완전하게 자신의 것으로 만들어야 한다. 대신 오답노트의 디자인에 너무 신경을 써서 시간을 낭비해서는 안 된다. 오답노트는 최대한 간단하게 만드는 것이 좋다.

 

3. 점수대별 학습전략

1)하위권

각 단원의 내용을 이해하면서 개념에 대한 정리를 할 필요가 있다. 이 때 모의고사 형태의 문제보다는 단원별로 정리된 문제를 통해서 개념을 정리하는 것이 바람직하다. 욕심을 내서 어려운 문제들을 풀기 보다는 자신의 수준에 맞는 교재를 선택하고 쉬운 문제라도 눈으로 풀거나 해설에 의존하여 풀지 않고 직접 풀어보는 것이 좋다. 특히 단원의 내용 정리가 완성이 되면 수능, 평가원 기출문제를 통해서 기본적인 문제들의 유형들을 숙달하는 것이 좋다.

2)중위권

기본 예제 정도는 무난히 해결할 수 있지만 약간만 응용되거나 수학적 사고를 요하는 문제에서 자주 틀리는 경향을 보인다. 문제가 요구하는 식이나 이론이 어려운 것이 아니라 문제 해결을 위한 실마리를 찾지 못하는 경우가 많다. 이런 학생들은 기본 개념과 원리를 철저하게 다지지 않고 문제 풀이에만 치중하는 경향이 강하므로 교과서와 시중 개념서에서 기본 개념과 원리를 다루는 부분을 심도 있게 다시 정리하는 것이 좋다. 마찬가지로 단원의 내용 정리가 완성이 되면 수능, 평가원 기출문제를 통해 출제자의 의도를 여러 관점에서 바라보는 훈련을 하는 것이 좋다.

3)상위권

꾸준히 모의고사 문제를 풀어보면서 적절한 시간 안배를 염두에 둔다. 모의고사 문제들을 분석해 보고 유형별로 분류해 놓음으로써 주제별로 문제들을 접근하고 그에 따른 개념들을 정리하는 것이 좋다. 만점을 받아야 한다는 생각에 잘 풀리지 않는 한 문제에 너무 많은 시간을 소요하여 다른 문제를 풀 시간이 부족하지 않도록 수능 시험 실전의 감각을 유지하는 것이 좋다.

 

4. 수리영역 단계별 공부법

우리가 당연히 알고 있는 것처럼 느끼고 있지만 실제로는 착각하고 있는 잘못된 개념들은 너무도 많다. 예를 들면 다항식 와 다항식 은 서로소일까? 아닐까? 정답은 서로소가 맞다. 와 이 라는 공약수를 가지므로 서로소가 아닌 것처럼 느껴지지만 다항식의 서로소의 정의는 일차이상의 공약수가 없을 때 두 다항식을 서로소라고 정의하기 때문에, 즉, 상수항을 공약수로 가지고 있지만 상관없이 위의 예는 서로소가 맞다. 이런 잘못된 개념을 가질 수밖에 없는 이유는 수학에서 나오는 많은 용어들이 대상이 무엇이냐에 따라서 정의가 다를 수 있기 때문이다. 그래서 수학 공부에서 가장 중요한 것은 용어에 대한 명확한 정의와 더불어서 정의를 내릴 때 필요한 대상에 대한 명확한 범위설정이다. 항상 대상이 무엇인지에 대해서 습관적으로 궁금해 하셔야 하고 명확하게 범위를 설정해야 한다. 교과서를 통해서 단원마다 나오는 새로운 용어에 대한 정의를 확인하고 그 때마다 대상들에 대한 조건들을 무시하고 넘어가지는 않았는지 꼼꼼하게 체크해 보는 것이 좋다. 이러한 단계가 완성이 되고 나면 그 다음에는 이러한 개념들이 왜 만들어 졌으며 어디에 활용을 할 수 있는지, 즉 수학적 개념들을 도구로서 이용할 수 있도록 문제를 통해서 정리를 해야 한다. 가령, 대성이가 지금 수열의 극한을 공부하고 있다고 가정해 본다. 대성이는 그동안 극한의 개념을 충분히 이해하는데 성공했다. 그런데 다음과 같은 문제를 보게 되었다.

이면 이다. 이 명제는 참인가? 거짓인가?

전형적인 극한값 문제처럼 변형을 통해서 문제를 풀려 하는데 쉽게 되질 않는다. 이 때 극한의 성질들을 도구로서 적용하지 못하면 많은 시간만 낭비하게 될 것이다. 문제 어디에도 극한의 성질인 대소 관계 성질을 이용하라고 하지 않는다. 이 문제는 대소 관계 성질이라는 도구를 이용하기 위해서 보이지 않는 진리인 을 생각해 내야 한다. 따라서 대소관계 성질을 도구로서 활용하지 않으면 절대로 이와 같은 문제를 효율적으로 풀어내질 못한다. 그토록 열심히 공부했던 대소관계인데도 어떤 상황에 이용해야 되는지를 모르면 쓸모없는 지식이 되는 것이다. 수능 시험의 목표는 단순한 암기와 기억력에 의존하는 평가가 아니라 주어진 문제 상황에서 이러한 도구들을 활용해서 문제 해결능력, 추리능력 그리고 분석능력을 갖고 있는지를 측정하는 시험이다. 많은 학생들이 수학은 개념이 중요하다는 것을 알고, 개념 공부를 열심히 하지만 막상 아무리 개념 공부를 열심히 해도 성적이 오르지 않는 이유는 바로 여기에 있다. 즉, 극한의 성질을 알고 있어도 그것의 쓰임새를 알지 못하면 실제로 문제를 풀 때는 적용을 못한다는 것이다. 이처럼 개념들은 반드시 쓸모없는 지식으로만 가지고 있는 것이 아니라, 왜 필요한지 어디에 이용할 것인지, 즉 필요성과 실용성 측면에서 반드시 분석하는 것이 좋다. 이 단계가 완성이 되고 나면 점수 올리기 위한 문제 푸는 스킬은 남은 시기동안 습득해도 문제가 되지 않는다. 문제 선택은 여전히 가장 공신력 있는 문제(수능기출, 평가원, 교육청, 전국, 사설모의고사 순)를 통해서 각 단원의 핵심 문제들이 무엇인지를 판단해야 하고 이미 알고 있는 개념들이 어떻게 도구로서 적용되는지 해석해야 합니다. 모든 단원의 명확한 개념과 문제에서 어떻게 도구로서 적용되는지 연결시킬 수 있다면 어느덧 수학에 자신감이 붙게 될 것이다.

 

단계별로 표로 정리해 보면 다음과 같다.

 

 

1) 1단계 : 수학 전단원에 걸쳐서 모든 대상에 대한 명확한 정의와 성질을 이해한다. 2) 2단계 : 대상들을 왜 만들어야 했으며, 만들다보니 어떤 제약이 필요했으며, 많은 제약을 가하면서도 만들었을 때 무엇에 쓰려고 만들었는지 혹은 어디에 도움이 됐는지, 각 대상들끼리는 어떤 연계성이 있는지 등에 대해서 1단계에서 배운 개념들 하나하나에 의미부여를 한다. 3) 3단계 : 수능, 평가원, 교육청, 전국 모의고사, 사설 모의고사 순으로 문제 유형들을 파악해봄으로써, 2단계에서 부여했던 개념들이 문제로 만들어질 때 어떻게 만들어지는지 파악해보고, 의미가 있는 좋은 문제인지, 별 의미 없는 문제인지를 구별해 본다. 4) 4단계 : 가장 공신력 있고 의미 있는 문제들을 3단계에서 완성했다면 EBS문제집을 통해서 변형된 문제나 참신한 문제들을 선별해서 풀어본다.

 

 

5. 수리영역 접근법 ? 생각의 힘

1) 개념 접근법

수학에서 개념 공부는 수학적 지식을 외우는데 있지 않다.

수학에서 지수가 무엇인지를 외우고, 지수의 성질을 외워서, 지수에 관한 문제를 잘 풀면 되겠지라는 생각은 수학이 타 암기과목과 다를 바가 없다.

수능시험에서 수리영역이라는 시험은 이런 외운 바를 측정하는 시험이 아니라, 생각하는 힘, 사고하는 힘을 갖고 있는지를 측정하는 시험이다.

물론 외운 바에 의해서 풀리는 문제도 있다. 그런 문제들은 내가 풀면 남도 푸는 문제들이다. 결국 변별력 있는 결정적인 문제에서 이 생각하는 힘에 의해서 학생들의 차이가 드러난다. 그렇다면, 이 생각하는 힘을 기르는 개념 공부는 도대체 어떻게 하면 되는 것일까? 이것이 바로 얘기하려는 핵심 사항이다.

수학에서 배우는 각 단원별 대상들은 모두 우연에 의해서 만들어진 것이 아니다.

모두 필연에 의해서 즉, 반드시 이유가 있기 때문에 만들어진 것이다.

학생들은 반드시 이 이유에 대한 호기심을 가지고, 생각하는 연습을 해야 한다.

결과가 책에 나와 있으니 결과를 외우면 되겠구나가 아니라, 이런 결과를 왜 갑자기 만든 것이지? 즉, 처음에 이런 대상을 만든 발견자의 관점에서, 그 발견자가 만든 것을 쫓아가는 것이 아니라, 내가 주체가 돼서 즉, 내가 발견자가 돼서 똑같이 궁금해 하고, 그런 궁금증을 해결하기 위해서 이런 정의를 하고, 그런 정의를 내렸더니, 보다 활용하기 좋은 성질들이 발견돼서, 한 시간이 걸리는 문제가 1분 만에 풀 수가 있는 것이구나를 확인하는 것이다.

교육 과정속에 나타나는 각 단원별 개념들을 이런 식으로 접근하면 그 과정에서 학생들 스스로 생각을 하게 되고 그래서 논리적인 사고능력을 키워나갈수 있게 되는 것이다.

수능에서 결국 변별력 있는 문제는 지금까지 풀었던 유형에서 벗어나 있는 낯선 문제이고, 이런 낯선 문제에 대해서 생각하는 힘이 부족한 학생은 어찌할 바를 모르는 것이고, 스스로의 힘으로 발견자의 관점에서 개념을 공부한 학생은 어떻게든 방법을 찾아서 헤쳐 나간다는 것이다.

정리해보면 “호기심을 가지고 발견자의 관점에서 개념공부를 하라.”

 

2) 문제 접근법

학생들 중에는 한 유형에 대한 문제를 연습할 때 100문제를 풀어보는 학생이 있고, 10문제를 풀어보는 학생이 있다. 그렇다면 당연히 100문제를 풀어보는 학생이 점수가 더 높게 나와야 하는데, 주의 친구들을 보면 쟤는 엄청 열심히 공부하는데 그 노력에 비해 생각보다 점수가 낮고, 저 친구는 맨날 노는 것 같은데 이상하게 점수가 높은 학생이 있다.

세상에는 원인 없는 결과는 없다. 인과관계,

이 원인에 수학 문제를 어떻게 풀어야 하는지에 대한 해법이 담겨 있다.

문제를 풀 때 상투적으로 “이런 문제는 책에서, 선생님이 이렇게 풀라고 했어”를 외워서

딱딱딱, 정해 놓은 방법에 의해서 문제를 푸는 학생들이 성적이 나쁜 100문제를 푸는 학생들이다. 이런 학생들은 정해 놓은 방법에 조금만 빗겨나가는 낯선 문제를 만나면 이상하다 이런 문제는 본 적이 없는데 하며 거기서 멈춰 버린다. 그러니. 정해 놓은 방법 그대로 풀리는 100문제를 풀어봐야, 시간만 낭비가 되는 것이다.

반면에 낯선 문제를 풀 때, 이 문제는 무슨 단원에 무슨 개념을 묻는 문제지? 문제에 대한 출제의도, 호기심을 갖고 접근한다. 아. 내가 배웠던 그 개념을 이 문제에서는 요런 표현법을 가지고 시도했구나, 하하. 좋은 표현법인걸. 하지만, 어차피 내가 배운 개념이 변하는 것은 아니니까, 제대로 된 분석만 하면 복잡하지 않을 거야. 그래 생각하고 분석해 보자.

이런 생각을 가지고 접근하는 학생들이 성적이 좋은 10문제만 푸는 학생들이다.

열심히만 하는 학생들 중에는 흔히 이런 말을 많이 한다. “나 기출문제집 한 달만에 10번 돌렸어. 나 일주일에 문제집 한권씩 풀고 있어”. 그저 아무 생각 없이 문제를 풀고, 틀린 거 체크하고, 선생님이 말하는 걸 무의식적으로 듣고, 밑줄치고, 색칠하고, 외우고. 이런 식의 문제공부가 가장 위험한 공부이다. 게다가 문제는 이런 식의 공부가 모의고사 점수는 올려주기에 학생들이 잘하고 있구나로 착각을 하게 만든다는 것이다. 절대 수능 점수는 오르지 않는다. 수능은 수학 능력을 측정하는 시험이다. 대학교에 가서 스스로 공부할 수 있는 능력을 갖추고 있는지를 테스트 하는 것이다. 스스로 공부하는 능력, 스스로 생각하는 능력, 스스로 문제를 분석해서 해결할 수 있는 능력.

정리해 보면 수학 문제를 풀 때는 관련 개념들을 반드시 떠올리고 출제 의도를 분석해서 스스로 생각하는 능력을 키워나간다는 관점으로 공부해야 한다.